2-1 타원 \(\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1\) 위의 점 \(P\)와 타원 \(\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1\) 위의 점 \(Q\)가 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이다. 두 점 \(A(-1, 0), B(0, -1)\)에 대하여 \(\vec{AP} \cdot \vec{BQ}\)의 최댓값을 구하시오. (30점)

2-2 오른쪽 그림과 같이 길이가 \(\sqrt{2}\)인 선분 \(AC\)를 지름으로 하고 중심이 \(O\)인 원이 있다. 이 원 위에 \(\angle AOE = \theta\) \(\left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)\)가 되도록 점 \(E\)를 잡고, 직선 \(EO\)가 원과 만나는 점 중 \(E\)가 아닌 점을 \(G\)라 하자. 대각선이 선분 \(AC\)인 정사각형 \(ABCD\)의 내부와 대각선이 선분 \(EG\)인 정사각형 \(EFGH\)의 내부의 공통부분의 넓이를 \(S(\theta)\)라 하자. 함수 \(S(\theta)\)에 대하여 \(\theta = \frac{\pi}{3}\)에서의 미분계수 \(S'\left(\frac{\pi}{3}\right)\)를 구하시오. (40점)

2-3 자연수 \(n\)에 대하여 두 곡선 \(y=\cos x\)와 \(y=1 - ax^2\)이 만나는 점의 개수가 \(4n+1\)이 되도록 하는 양수 \(a\)를 \(a_n\)이라 하자. (예를 들어, 오른쪽 그림은 \(n=1\)인 경우이다.) 극한값 \[ \lim_{n \to \infty} \cos\sqrt{\frac{2}{a_n} - 4} \] 를 구하시오. (30점)